Lineare Optimierung: Maximierung

		Beispiel:
		Einer kleinen Provinzstadt ist es wieder gelungen, eine beliebte Musikgruppe für ein Konzert zu gewinnen. Die Unkosten der Veranstaltung belaufen sich auf 4200 €. Der für die Aufführung vorgesehene Saal kann maximal 900 Besucher aufnehmen. Für einen Sitzplatz will man 12 €, für einen Stehplatz 6 € verlangen. Es stehen allerdings maximal 350 Sitzplätze zur Verfügung.
		a) In welcher Anzahl sollen die Karten aufgelegt werden, um die oben genannten Unkosten zu decken?
		b) Für welche Platzzahlen ist der Gewinn maximal?
		Lösung:
		x ... Anzahl der Sitzplätze
		y ... Anzahl der Stehplätze

Aus dem Text können wir folgendes Ungleichungssystem und folgende Zielfunktion erstellen:

x + y < 900

x < 350

x > 0

y > 0

Die letzten beiden Bedingungen (Nichtnegativitäts-Bedingung) wird stets automatisch hinzugefügt!!)

Z = 12x + 6y

In das Applet rechts eingegeben, ergibt sich folgendes Bild.

		Zur Beantwortung von a) braucht man nur für Z = 4200 einsetzen. Alle Punktepaare auf dieser Geraden decken die Unkosten ab. Beispielsweise der Punkt 100/500 (also 100 Sitzplätze, 500 Stehplätze), oder aber auch 200/300 usw.
		Zur Beantwortung von b) versuche ich die Zielfunktion so weit wie möglich hinauszuschieben, sodass gerade noch ein Punkt der Zielgeraden im Gültigkeitsbereich des Ungleichungssystems liegt.
		Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt zweier Geraden, hier von y = -x + 900 und x = 350. Den Schnitpunkt der beiden Geraden berechne ich mit einem beliebigen bereits bekannten Verfahren. Hier erhalte ich x=350 und y = 550.
		Wenn ich also 350 Sitzkarten und 550 Stehkarten verkaufe, erhalte ich den optimalen Gewinn von Z = 35012 + 550 6 =7500 €.

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